Муодилаи биквадратии

\[4x^4 - 5x^2 + 1 = 0 \qquad (1)\]

-ро ҳал менамоем.

Муодилаи (1)-ро бо ёрии ҷорӣ кардани тағйирёбандаи нав ҳал менамоем.

\(x^2\)-ро бо \(y\) ишорат менамоем:

\[x^2 = y.\]

Он гоҳ муодилаи (1) ба муодилаи квадратии дорои тағйирёбандаи \(y\) оварда мешавад:

\[4y^2 - 5y + 1 = 0. \qquad (2)\]

Муодилаи (2)-ро бо методи дискриминант ҳал мекунем.

Намуди умумии муодилаи квадратӣ:

\[ay^2+by+c=0.\]

Барои муодилаи (2): \(a=4, b=-5, c=1\).

Дискриминантро меёбем:

\[D=b^2-4ac=(-5)^2 - 4 \cdot 4 \cdot 1 = 25 - 16 = 9 > 0.\]

Азбаски D>0, пас муодилаи додашуда ду решаи ҳақиқӣ дорад, ки аз рӯи формулаи зерин ҳисоб мешаванд:

\[y_{1,2}=\frac{-b \pm \sqrt{D}}{2a} = \frac{-(-5) \pm \sqrt{9}}{2\cdot 4} = \frac{5 \pm 3}{8}.\]

Яъне,

\(y_1 = \frac{5 - 3}{8} = \frac{2}{8} = \frac{1}{4}\).

\(y_2 = \frac{5 + 3}{8} = \frac{8}{8} = 1\).

Аз муодилаи \(x^2 = \frac{1}{4}\) меёбем, ки

\[x_{1,2} = \sqrt{\frac{1}{4}}  = \pm\frac{1}{2} \implies x_1 = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{1}{2}.\]

Аз муодилаи \(x^2 = 1\) меёбем, ки

\[x_{3,4} = \sqrt{1}  = \pm 1 \implies x_3 = -1, \quad x_4 = 1.\]

Пас, муодилаи (1) чор реша дорад, яъне

\[x_1 = -\frac{1}{2}, \quad x_2 = \frac{1}{2}, \quad x_3 = -1, \quad x_4 = 1.\]

Санҷиш.

\(\begin{multline}
1. \quad 4\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^4 - 5\cdot\left(-\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = 4\cdot\frac{1}{16} - 5\cdot\frac{1}{4} + 1 = \\
= \frac{4}{16} - \frac{5}{4} + 1 = \frac{1-5+4}{4} = 0.
\end{multline}\)

\(\begin{multline}
2. \quad 4\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^4 - 5\cdot\left(\frac{1}{2}\right)^2 + 1 = 4\cdot\frac{1}{16} - 5\cdot\frac{1}{4} + 1 = \\
= \frac{4}{16} - \frac{5}{4} + 1 = \frac{1-5+4}{4} = 0.
\end{multline}\)

\(\begin{multline}
3. \quad 4\cdot (-1)^4 - 5\cdot (-1)^2 + 1 = 4\cdot 1 - 5\cdot 1 + 1 = 4 - 5 + 1 = 0.
\end{multline}\)

\(\begin{multline}
4. \quad 4\cdot 1^4 - 5\cdot 1^2 + 1 = 4\cdot 1 - 5\cdot 1 + 1 = 4 - 5 + 1 = 0.
\end{multline}\)